werry-chanの日記．料理とエンジニアリング

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ますらば東大模試(4)解いてみた

入試問題三角関数数学東京大学模試高校数学図形微分

エオ！！

エオ！！

リーロリロリロリロレロ！！

レーロ！！

エーオ！！

ALL RIGHHT！！

遅れ遊ばせながらボエミアンラプソディー見てきました．

フレディ最高ですね．超カッコいい．クイーン大好き．

めっちゃライブ行きたくなりましたわ．

閑話休題．

前回までの続きです．

暇な時間の楽しみに少しずつ解いて楽しんでます．

論文書かないとなぁと思いつつ，ぼちぼちだらだらして，高校数学の入試問題解いてるウェリーちゃんです．

前回までの道筋はこちらから辿ってください．

werry-chan.hatenablog.com

問4

辺の長さがで，辺が鏡になっている正方形 ABCD があり，線分 BC 上に
BP : CP = t : (1 −t )，( $\frac{1}{2} < t < 1$ )
となるような点 P を定める。点 A から点 P
に向けて，光線 K を発射し，初めて K により囲まれてできる四角形の面積を S(t)
とする。

(1) K が線分 CD DA 上で最初に反射する点を，それぞれ Q ,R とする。このと
き， $\vec{QP}・\vec{QR}$ を求めよ。

(2) S(t) の最大値と，そのときの t を求めよ。

以下に答えを載せますので，注意です．

(1)の解答．

図形の設定を紙面左上を点Aとして，時計回りに点B,C,Dが配置する正方形を考える．
また，以下の解答では点Aを原点として $\vec{AB}$ 方向をx軸正方向， $-\vec{AD}$ をy軸正方向と考える．

$\vec{AP}=(1,-t)$

反射の性質を考えると，

$\bigtriangleup ABP \sim \bigtriangleup QCP \sim \bigtriangleup QDR$ 　　①

と相似関係が求まる．

相似非は上記①式の三角形の順に

$1：\frac{1-t}{t}：1-\frac{1-t}{t}$

と求まる．

以上の関係がつかめれば求める値は容易に計算できる．

$\vec{QP}=(\frac{1-t}{t}, 1-t), \vec{QR}=(1-\frac{1-t}{t}, 1-2t)$

ここで角度関係を求めたいので

$\angle BAP=\theta，\angle PQR =\pi -2\theta$ として

$cos(\angle PQR )=-cos2\theta=sin^2\theta -cos^2\theta=\frac{BP}{AP}^2-\frac{AB}{AP}^2=\frac{t^2}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}$

と表せるので

$\vec{QP}・\vec{QR}=|QP||QR|cos(\angle PQR )=-\frac{(1+t)(1-t)^2(2t-1)}{t^2}$

(2)の解答

点Rで反射した光が線分APと交わる点を，点Sとする．

四角形PQRSは，(1)で求めた相似関係から平行四辺形とわかる．

ゆえに，

$S(t)=\bigtriangleup RQP \times 2 = |\frac{1-t}{t}(1-2t)-(1-t)(2-\frac{1}{t})|=-4t+6-\frac{2}{t}$

$S'(t)=-4+2\frac{1}{t^2}$

これらの式から， $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値を持ち，

$S(\frac{1}{\sqrt{2}})=2(3-2\sqrt{2})$

間違ってるとか，別解あったら教えてください．