ハイゼンベルグの運動方程式 - werry-chanの日記．料理とエンジニアリング

本日テストが大学のテストが一部は終了し，冬休みに突入したウェリーちゃんでございます．

いや，実は本当はこの時期に「”とある国際会議”に行こうぜ！！」って某担当さんに言われてたんですけど，その”とある国際会議”が来年のGW10連休にあるし，あと〆切数週間前に突然言われても無理やってんで断りました．そのおかげで無事冬休み突入できまして，冬休みに突入したんだから当然，量子力学の勉強するんですよね．

ということで，ウェリーちゃんのブログの初投稿は，冬休み初夜に勉強した

「ハイゼンベルグの運動方程式」です．

$\frac{d\langle\hat{A(t)}\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\mathscr{H},\hat{A(t)}$ ]

↑これがハイゼンベルグの運動方程式になります．それでは，それぞれの文字について説明します．

$\hat{A(t)}$ は力学変数 $A(t)$ に対応する演算子で，

$\hat{A(t)}=exp(\frac{i\mathscr{H}t}{\hbar})\hat{A}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{\hbar})$

となります．

$\langle\hat{A(t)}\rangle$ は $\hat{A(t)}$ の期待値で $\langle\hat{A(t)}\rangle =\int \psi^\ast\hat{A(t)}\psi d\bf{r}$ と表します．

$\mathscr{H}$ はハミルトニアン演算子です．

それでは，以下でハイゼンベルグの運動方程式の導出を行いましょう．

$\begin{equation*}\begin{split} \frac{d\hat{A(t)}}{dt}= \{\frac{d}{dt}exp(\frac{i\mathscr{H}}{\hbar})\}\hat{A}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{\hbar})+exp(\frac{i\mathscr{H}t}{\hbar})\hat{A}\{\frac{d}{dt}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{h})\}\\=\frac{i}{h}\{\mathscr{H}exp(\frac{i\mathscr{H}t}{\hbar})\hat{A}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{\hbar})-exp(\frac{i\mathscr{H}t}{\hbar})\hat{A}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{\hbar})\mathscr{H}\}\\\end{split}\end{equation*}\\$

となり，

$[\mathscr{H},\hat{A(t)}]=\{\mathscr{H}exp(\frac{i\mathscr{H}t}{\hbar})\hat{A}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{\hbar})-exp(\frac{i\mathscr{H}t}{\hbar})\hat{A}exp(\frac{-i\mathscr{H}t}{\hbar})\mathscr{H}\}$