エーレンフェストの定理 - werry-chanの日記．料理とエンジニアリング

こないだ買って1ヶ月も経ってない中古の土鍋が割れたウェリーちゃんです．

エーレンフェストの定理導出しましょう．

エーレンフェストの定理とかハイゼンベルグの云々ってかっこいいので，中二病心を揺さぶられるので，こいつらを導出してやりましょう(今回はエーレンフェストの定理)．

それではエーレンフェストの定理です．

$\frac{d\langle\bf{\hat{p}}\rangle}{dt}=\langle\bf{F}\rangle$

こいつを導出していきます．

まず文字の意味です．

$\bf{F}=-\nabla V$ でVはポテンシャルです． $\langle\bf{\hat{p}}\rangle$ は運動量演算子の期待値です．

それでは始めましょう．

$\frac{d\langle\bf{\hat{p}}\rangle}{dt}=\int\frac{d}{dt}(\psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\psi)d\bf{r}\\=\int\frac{d\psi^{\ast}}{dt}\bf{\hat{p}}\psi d \bf{r}+\int\psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\frac{d\psi}{dt} d \bf{r}$

ここでシュレディンガー方程式を時間tで微分した式を考えると，

$i\hbar\frac{d\psi}{dt}=\mathscr{H}\psi , \, -i\hbar\frac{d\psi^{\ast}}{dt}=\mathscr{H}\psi^{\ast}$

となり，この式を上式に代入すると，

$\frac{d\langle\bf{\hat{p}}\rangle}{dt}=\int (\frac{1}{-i\hbar}\mathscr{H}\psi^{\ast})\bf{\hat{p}}\psi d\bf{r}+\int \psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\frac{\mathscr{H}}{i\hbar}\psi d\bf{r}\\=-\frac{1}{i\hbar}\int (\mathscr{H}\psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\psi-\psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\mathscr{H}\psi ) d\bf{r}\\=-\frac{1}{i\hbar}\int\psi^{\ast}[\mathscr{H},\bf{\hat{p}}]\psi d\bf{r}$

ここで $[\mathscr{H},\bf{\hat{p}}]$ を具体的に計算すると，

$[\mathscr{H},\bf{\hat{p}}]=\mathscr{H}\bf{\hat{p}}-\bf{\hat{p}}\mathscr{H}\\=(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V)(-i\hbar\nabla)+(i\hbar\nabla)(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V)\\=i\hbar\nabla V$

となる．

すなわち

$\frac{d\langle\bf{\hat{p}}\rangle}{dt}=-\frac{1}{i\hbar}\int\psi^{\ast}[\mathscr{H},\bf{\hat{p}}]\psi d\bf{r}\\=-\frac{1}{i\hbar}\int\psi^{\ast}(i\hbar\nabla V)\psi d\bf{r}\\=\int\psi^{\ast}(-\nabla V)\psi d\bf{r}\\=\int\psi^{\ast}\bf{F}\psi d\bf{r}\\=\langle\bf{F}\rangle$

となり，無事エーレンフェストの定理が導かれました．

上では冗長な計算をしてたんですが，ハイゼンベルグの運動方程式

werry-chan.hatenablog.com

を使うと式の一部は簡単になります．

$\frac{d\langle\bf{\hat{p}}\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\mathscr{H},\langle\bf{\hat{p}}\rangle]\\=-\frac{1}{i\hbar}(\mathscr{H}\langle\bf{\hat{p}}\rangle-\langle\bf{\hat{p}}\rangle\mathscr{H})\\=-\frac{1}{i\hbar}\int (\mathscr{H}\psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\psi-\psi^{\ast}\bf{\hat{p}}\mathscr{H}\psi ) d\bf{r}\\=-\frac{1}{i\hbar}\int\psi^{\ast}[\mathscr{H},\bf{\hat{p}}]\psi d\bf{r}$

参考文献は川村清先生の量子力学1↓

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エーレンフェストの定理 - Wikipedia