収束半径決定定理 - werry-chanの日記．料理とエンジニアリング

今回は複素級数の収束半径決定定理

すなわち

を証明します．

以下"コーシー・アダマールの公式"の証明↓

$\lim_{n\to \infty}|c_n (z-a)^n|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}|c_n|^{\frac{1}{n}}|z-a|=\frac{|z-a|}{R}$

まず $\frac{|z-a|}{R}\langle 1$ では，

$|c_n(z-a)^n|\langle M^n$

この定数MはM<1となる．

この時，優級数定理

$\sum_{n=0}^{\infty}z_n$ において，

$|z_n|\leq M_n$ となる $M=\sum_{n=0}^{\infty}M_n$ が存在すれば，

$\sum_{n=0}^{\infty}z_n$ は絶対収束し， $\sum_{n=0}^{\infty}M_n$ を $\sum_{n=0}^{\infty}z_n$ の優級数という．

より， $M^n$ が優級数となり $\sum_n^{\infty}M^n$ は収束する．上の公式に当てはめるなら $M=\frac{1}{R}$ である．

同様に $\frac{|z-a|}{R}\rangle 1$ では，

$|c_n(z-a)^n|\rangle M^n$ となるnと定数M>1が存在する．

この時 $M^n\to \infty ,|c_n(z-a)^n|\to\infty$ となり，ベキ級数は発散する．

同様な手続きをとって"ダランベールの公式"も証明される．

↓参考文献として小寺平治先生の"テキスト複素解析"を参照した．

↓wikipediaのリンクも載せておきます．