Heisenbergの不確定性関係の問題が解けない - werry-chanの日記．料理とエンジニアリング

最近勉強不足が甚だしいので，Heisenbergの不確定性関係についての教科書問題解いてたら年を越してしまったウェリーちゃんです．
実家に帰るとご飯を作らなくても出てくるのでビックリしてます．
あと昼まで寝てて夜寝れないんじゃ〜〜．

本題に入りましょう．
今日解いてた量子力学の問題で分かんないところあったので，質問がてら投稿しちゃいます．

[問]
Heisenbergの不確定性関係の式
$\sqrt{(\bar{\Delta q})^2・(\bar{\Delta p})^2}\geq \frac{\hbar}{2}$
が最小値 $\frac{\hbar}{2}$ をとる時，Gauss関数を用いて
$\psi (q)=Aexp\left[ \frac{-q^2}{2(\bar{\Delta q})^2}\right]$
を示せ．ただしAは定数で $\bar{q}=\bar{p}=0$ である．
(注：演算子 $\hat{A}$ の期待値を $\bar{A}$ ，期待値からの偏差を $\Delta A=\hat{A}-\bar{A}$ としてる．)
出典：砂川重信先生の岩波書籍より"量子力学"pp.53です．

この結果をいくら計算しても答えが
$\psi (q)=Aexp\left[ \frac{-q^2}{4\bar{(\Delta q)^2}}\right]$
にしかならないのです．

導出法は以下のようにしてます．
$\left[ \hat{q},\hat{p}\right]=\left[ \Delta\hat{q},\Delta\hat{p}\right] =i\hbar$
実数 $\alpha$ を用いて
$I(a)=\langle\psi | (\alpha\Delta\hat{q}-i\Delta\hat{p})・(\alpha\Delta\hat{q}+i\Delta{\hat{p}}))|\psi\rangle\\=\langle\psi |(\alpha^2(\Delta\hat{q})^2+i\alpha\left[ \Delta\hat{q},\Delta\hat{p}\right] +(\Delta\hat{p})^2)|\psi\rangle=0$
がHeisenbergの不確定性関係関係から導け，
$\alpha^2(\Delta\hat{q})^2+i\alpha\left[ \Delta\hat{q},\Delta\hat{p}\right] +(\Delta\hat{p})^2=0$
より $\alpha=\frac{\hbar}{2\bar{(\Delta q)^2}}, \,\,\,\, (\alpha\Delta q+i\Delta p)|\psi\rangle=0$
上記の右の式は $\bar{q}=\bar{p}=0$ より
$(\alpha\hat{q}+i\hat{p})|\psi\rangle=0$
$\langle q |(\alpha\hat{q}+i\hat{p})|\psi\rangle=(\alpha q+ip)\psi (q)=0$
この式に $\alpha=\frac{\hbar}{2\bar{(\Delta q)^2}}$ を代入して計算すると
$\psi (q)=Aexp\left[ \frac{-q^2}{4\bar{(\Delta q)^2}}\right]$
となる．