werry-chanの日記．料理とエンジニアリング

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tan1°は有理数か？

数学高校数学三角関数帰納法京都大学入試問題

前回の投稿で頭使ったので，息抜きに超有名入試問題
tan1°は有理数か？
を解きます．

[証明]

$tan1^\circ$ を有理数と仮定する．
この時，
$tan2^\circ=\frac{tan1^\circ+tan1^\circ}{1-tan1^\circ tan1^\circ}$
有理数同士の四則演算の結果は，有理数となるため $tan2^\circ$ は有理数．
次に $N$ を正の自然数として， $tanN^\circ$ と $tan(N+1)^\circ$ の関係について考える．
$tanN^\circ$ が有理数なら，
$tan(N+1)^\circ=\frac{tanN^\circ+tan1^\circ}{1-tanN^\circ tan1^\circ}$
は上記の $tan2^\circ$ と同様にして有理数とわかる．

よって $tan1^\circ$ を有理数と仮定した時，帰納的に正の自然数N>=1で $tanN^\circ$ が有理数とわかる．

ここで， $N=30$ の時，
$tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$
となり， $\frac{1}{\sqrt{3}}$ は無理数なので，上記の仮定
$tan1^\circ=(有理数)$
は棄却された．

以上より $tan1^\circ$ は有理数ではない．

この問題初めて見た時はギョッとしましたよねぇ．
日本の受験史史上最も短い問題文ですね．
また解き方も綺麗なものです．初めて見た時は，ええ，感動しましたよ．
今となっては無心で脳死で記述できますけど，まぁコンテンツにはなるかな？